Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0 a, b dan c adalah bilangan real.
- 1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat
a) memfaktorkan,
b) melengkapkan kuadrat sempurna,
c) menggunakan rumus.
- a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0
Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau x – 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
Paparan dalam video berikut:
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)2 = x – 2.
Jawab: (x – 2)2 = x – 2
x2 – 4 x + 4 = x – 2
x2 – 5 x + 6 = 0
(x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0 atau x – 2 = 0
x = 3 atau x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.
Contoh 3 :
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0.
Jawab: 2 x2 + 7 x + 6 = 0
2 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0
2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0 atau 2 x + 3 = 0
x = –2 atau x = – 1
Jadi, penyelesaiannya adalah –2 dan –1.
- b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0
x2 – 6 x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x – 3 = 2 atau x – 3 = –2
x = 5 atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
Contoh 2:
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 – 8 x + 7 = 0.
Jawab: 2 x2 – 8 x + 7 = 0
2 x2 – 8 x + 8 – 1 = 0
2 x2 – 8 x + 8 = 1
2 (x2 – 4 x + 4) = 1
2 (x – 2)2 = 1
(x – 2)2 = ½
x – 2 = atau x – 2 = –
x = 2 + Ö2 atau x = 2 –Ö2
Jadi, penyelesaiannya adalah 2 + Ö2 dan 2 – Ö2.
- c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.
Jawab: x2 + 7x – 30 = 0
a = 1 , b = 7 , c = – 30
x = 3 atau x = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.
Latihan 1
- Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:
- Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian tentukanlah akar-akarnya!
- Salah satu akar x2 – mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!
- Jika x = 1 memenuhi persamaan (a – 1)x2 + (3a – 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang lain!
- Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebar
- x2 – 3x + 2 = 0 f. –2x2 + 8x – 9 = 0
- 3x2 – 9x = 0 g. –6x2 + 10xÖ3 – 9 = 0
- 6x2 – 13x + 6 = 0 h. x2 – 2xÖ3 – 1 = 0
- 5p2 + 3p + 2 = 0 i. x2 + x – 506 = 0
- 9x2 – 3x + 25 = 0 j. x2 – x + Ö2 = 2
- 2x – x(x + 3) = 0 c. (x – 3)2 + 2(x – 3) – 3 = 0
- (x – 3) (x + 2) – 2x2 + 12 = 0 d.
2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akarnya , b2 – 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai .
Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.
Apabila:
- D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .
- D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama. .
- D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:
- x2 + 5 x + 2 = 0
- x2 – 10 x + 25 = 0
- 3 x2 – 4 x + 2 = 0
- x2 + 5 x + 2 = 0
D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.
- x2 – 10 x + 25 = 0
D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
Karena D = 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 = 0 mempunyai dua akar real sama.
- 3 x2 – 4 x + 2 = 0
D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8
Ternyata bahwa D < 0. Jadi, persamaan 3 x2 – 4 x + 2 = 0 tidak mempunyai akar real.
Latihan 2
- Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:
- x2 + 6x + 6 = 0
- x2 + 2x + 1 = 0
- 2x2 + 5x + 5 = 0
- –2x2 – 2x – 1 = 0
- 6t2 – 5t + 1 = 0
- 4c2 – 4c + 3 = 0
- Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama (kembar)!
- 4x2 + 8px + 1 = 0
- 4x2 – 4px + (4p – 3) = 0
- px2 – 3px + (2p + 1) = 0
- Persamaan x2 – 4px – (p – 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!
- Buktikan bahwa persamaan x2 – px – (p + 1) = 0 mempunyai dua akar real berlainan!
- Buktikan bahwa mempunyai dua akar real berlainan!
- Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2.
x2 + x + = 0
Karena x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :
Jadi, , .
Contoh:
Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:
- x1 + x2 d.
- x1.x2 e. x13 + x23
- x12 + x22
a. x1 + x2 = 3
b. x1.x2 = 4
c. x12 + x22 = x12 + x22 + 2 x1.x2 – 2 x1.x2
= (x1 + x2)2 – 2 x1 x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1
e. (x1 + x2)3 = x13 + 3 x12 x2 + 3 x1 x22 + x23
= x13 + 3 x1 x2 (x1 + x2) + x23
x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3 x1 x2 (x1 + x2)
= 33 – 3 . 4 (3)
= 27 – 36 = –9
Latihan 3
- Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan berikut:
- Akar-akar persamaan x2 + 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Dengan tidak menyelesaikan persamaan itu, hitunglah:
- Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 – (k + 2)x + 2k = 0 adalah 20. Hitunglah nilai k.
- Jumlah kebalikan akar-akar persamaan ax2 – (a + b)x + 2a = 0 adalah 2. Hitunglah nilai a.
- Akar-akar persamaan x2 + ax + b = 0 adalah x1 dan x2.
- x2 – 5x + 7 = 0 d. bx2 + ax + c = 0
- 2x2 – 7 = 0 e.
- 4x2 – 3x = 0 f. (x – p)2 + (x – q)2 = p2 + q2
- p2 + q2
- (p + 2) (q + 2)
- (p – 2q) (q – 2p)
4. Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:
v menggunakan perkalian faktor,
v menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.
- a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
(x – x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika akar-akar
persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.
Contoh 1:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab: (x – x1) (x – x2) = 0
(x – 3) (x – (-2)) = 0
(x – 3) (x + 2) = 0
x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0
x2 – x – 6 = 0.
Contoh 2:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan !
Jawab: (x – ) (x – ) = 0
= 0
6 x2 – 2 x – 3 x + 1 = 0
6 x2 – 5 x + 1 = 0
- b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar
Dengan menggunakan x1 + x2 = – dan x1 x2 = , maka akan diperoleh persamaan:
x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
Jawab: x1 + x2 = -2 – 3 = – 5
x1 x2 = 6
Jadi, persamaan kuadratnya x2 – (–5)x + 6 = 0 atau x2 + 5x + 6 = 0.
- c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0.
Jawab:
Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. ® x1 + x2 = 2 , x1 x2 = 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q = x2 +3
p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3) p q = (x1 + 3) (x2 + 3)
= x1 + x2 + 6 = x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9
= 2 + 6 = 8 = 3 + 2(2) = 9 = 18
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q) + pq = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.
Contoh 2:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0.
Jawab:
Misalkan akar-akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2
a + b = 2(x1 + x2) = 2
a b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 . = 2
Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:
x2 – (a + b)x + ab = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 3x + 2 = 0..
Latihan 4
- Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:
- Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut adalah dan . Tentukan persamaan kuadratnya!
- Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 4x – 6 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
- Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 2x + 1 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
- Diketahui persamaan 2x2 – 5x + 3 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
- 1 dan 3
- 2 dan -4
- -1 dan -5
- –Ö2 dan 2Ö2
- (p + q) dan (p – q)
- (a + 1) dan (b + 1)
- (a– 3) dan (b– 3)
- 4a dan 4b
- –a dan –b
- (2a + 1) dan (2b + 1)
- a2 dan b2
- berlawanan dengan akar-akar persamaan yang diketahui.
- kebalikan akar persamaan yang diketahui.
B. Fungsi Kuadrat
- 1. Pengertian
Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
Contoh 1:
Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7
Ditanyakan:
- nilai pembuat nol fungsi f
- nilai f untuk x = 0 , x = –2
- Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
(x – 7) (x + 1) = 0
x = 7 atau x = –1
Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1
- Untuk x = 0 maka f(0) = –7
Contoh 2:
Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x2 + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.
Jawab :
Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.
D = (p – 1)2 – 4 . 3 . 3 = 0
p2 – 2p – 35 = 0
(p – 7) (p + 5) = 0
p = 7 atau p = –5
Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.
Periksalah jawaban itu.
- 2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat
1) f(x) = x2 – 2x – 3
= x2 – 2x + 1 – 4
=(x – 1)2 – 4
Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)2 – 4 mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.
Jadi, f(x) = x2 – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.
2) f(x) = –x2 + 4x + 5
= –x2 + 4x – 4 + 9
= –(x2 – 4x + 4) + 9
= –(x – 2)2 + 9
Nilai terbesar dari – (x – 2)2 sama dengan nol untul x = 2.
Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)2 + 9 adalah 0 + 9 = 9.
Jadi, f(x) = –(x – 2)2 + 9 atau f(x) = –x2 + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.
Sekarang perhatikan bentuk umum f(x) = ax2 + bx + c
Dengan uraian di atas, diperoleh:
Fungsi kuadrat f(x) = a x2 + b x + c
Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum untuk
Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum untuk
Contoh:
Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 + 4x + 7
Jawab:
f(x) = 2x2 + 4x + 7 , a = 2 , b = 4 , c = 7
Nilai minimum fungsi f = 5
0 komentar:
Posting Komentar